Как найти область определения функции?

область определения графика

Синонимы: область допустимых значений или сокращенно ОДЗ. Первое, с чем Вы сталкиваетесь при изучении различных функций или же при построении графиков - это область определения функции.

Определение:

Областью определения называется множество значений, которые может принимать x. Обозначение  D(f).

Как же это правило применить к заданной Вам функции?

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные "сложные" функции - это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция - ограничение на знаменатель.

область определения

2. Корень четной степени - ограничение на подкоренное выражение.

obl 2

3. Логарифмы - ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

область определения

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) - ограничение на аргумент.

Для тангенса:

obl 4 на графике тангенса obl 5

 

Для котангенса: 

obl 6 на графике котангенса obl 7

 

4. Обратные тригонометрические функции. 

Арксинус   Арккосинус Арктангенс, Арккотангенс
arcsinx  Arccos Arctg

arcsin ogranichenie arccos ogranichenie arctg ogranichenie

Далее решаются следующие примеры на тему "Область определения функций". 

Пример 1   Пример 2
 ex-1   ex-2 
Пример 3   Пример 4
 ex-3   ex-4 
Пример 5   Пример 6
 ex-5   ex-6 
Пример 7   Пример 8
 ex-7   ex-8 
Пример 9   Пример 10
 ex-9    ex-10
Пример 11   Пример 12
 ex-11   ex-12 
Пример 13   Пример 14
 ex-13    
Пример 15   Пример 16
     

 

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени: 

y = 2x + 3 уравнение задает прямую на плоскости.

Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?

Попробуем подставить значение х=0

Так как  y = 2·0 + 3 = 3 - получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.

Попробуем подставить значение х=10 

так как  y = 2·10 + 3 = 23 -  функция существует при взятом значении переменной х=10 .

Попробуем подставить значение х=-10

так как  y = 2·(-10) + 3 = -17 - функция существует при взятом значении переменной х=-10 . 

Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.

области определения функции

Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.

Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R  или запишем так: D(f) = R 

Формы записи ответа:  D(f)=R  или  D(f)=(-∞:+∞)или x∈R  или x∈(-∞:+∞)

Сделаем вывод:

Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.

 

 

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:  

y = 10/(x + 5) -  уравнение гиперболы

Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не

обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.

При х = 0 имеем  y = 10/(0 + 5) = 2 - функция существует.

При х = 10 имеем  y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3 - функция существует.

При х = -5 имеем  y = 10/(-5 + 5) = 10/0  -  функция в этой точке не существует. 

Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует. 

В нашем случае:

x + 5 = 0 → x = -5 - в этой точке заданная функция не существует.

или

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5 

Для наглядности изобразим графически:

область определения функции 

На графике также видим, что  гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5, но самого значения -5 не достигает. 

Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки  x = -5

Формы записи ответа:  D(f)=R\{-5}  или  D(f)=(-∞;-5) (-5;+∞)  или  xR\{-5}  или  x(-∞;-5)(-5;+∞) 

Вывод:

Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя. 


 

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

sqr_2x-8.gif 

Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем - неотрицательна.

2х - 8 ≥ 0  

Решим простое неравенство:  

2х - 8 ≥ 0  →  2х ≥ 8  →  х ≥ 4

Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)=[4;+∞)  или  x[4;+∞).

 

область определения функции

На графике видим, что функция существует для найденных значений х : х ≥ 4  или  D(f)=[4;+∞)  или  x[4;+∞).

При попытке подставить вместо х значения, отличные от найденных, под корнем получим отрицательное число, те в этих точках функция не существует. 

Вывод:

Если заданная функция содержит квадратный корень (или корень любой четной степени), то обязательно накладывается условие неотрицательности (≥0) на подкоренное выражение. Если квадратный корень находится в знаменателе функции, у которой мы находим область определения, то на подкоренное выражение накладывается условие положительности (>0), так как знаменатель всегда должен быть отличен от нуля. 

 

Пример нахождения области определения функции №4

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени в знаменателе:

formula 4

В числителе имеем линейную функцию, область определения которой множество всех действительных чисел. (см. пример 1)

В знаменателе - квадратный корень, накладывает условие на подкоренное выражение, не забывая о том, что знаменатель всегда отличен от нуля.

Получим:

x- 4x + 3 > 0   →  (x - 1)(x - 3) > 0 

Решим строгое неравенство методом интервалов:

Видим, что функция положительна на следующих интервалах: x∈(-∞;1)∪(3;+∞)

Нашли такие значения переменной х, при которых функция существует - нашли ОДЗ функции.

  

 

Пример нахождения области определения функции №5

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем нечетной степени:

нахождение области определения графика функции 

 

Имеем дело с корнем нечетной степени. Так как корень нечетной степени существует при любых значениях подкоренного выражения, то заданная дробная функция под корнем может принимать любые значения.

В числителе дробной функции - уравнение первой сnепени, которое существует при любых значениях переменной. Знаменатель любой дроби отличен от нуля. Следовательно, при нахождении ОДЗ заданного выражения имеем дело лишь с одним ограничением - ограничение на знаменатель дроби.

область определения найти как

Получили ОДЗ:  x∈(-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞)


 

Пример нахождения области определения функции №6

Рассмотрим пример нахождения области определения логарифма: 

область определения логарифмической функции 

Простенький пример на область определения логарифмической функции.

Помним, что основание логарифма положительно и отлично от нуля. Подлогарифмическое выражение положительно:

решение неравенства при нахождении области определения функции

Покажем на числовой прямой:

решение неравенства на плоскости 

Получили ОДЗ:  x∈(8;9)∪(9;+∞)

 

 

Пример нахождения области определения функции №7

Задана функция вида: 

область определения функции как найти 

1 ограничение основывается на наложении ограничения на знаменатель дроби (отличен от нуля):

ограничение на знаменатель дроби

Второе ограничение  — подлогарифмическое выражение положительно:

ограничение на логарифм

Т.е. для определения области определения заданной функции необходимо решить систему:

система для определения области определения функции

Необходимо решить каждое из ограничений системы по отдельности и пересечь получившиеся результаты.

Допускаю, что читатель самостоятельно может это проделать и перехожу к разбору следующего примера.

 

 

Пример нахождения области определения функции №8

Рассмотрим следующий пример: 

область определения функции 

Имеем дело с корнем четной степени, следовательно первое ограничение на подкоренное выражение:

ограничение на подкоренное выражение

Имеем дело с логарифмом, следовательно ограничение на подлогарифмическую функцию:

ограничение на подлогарифмическую функцию

Таким образом для определения области определения исходной функции необходимо решить систему неравенств:

система ограничений

Каждое из неравенств решим по отдельности.

Первое неравенство будем решать методом интервалов: найдем корни каждого из выражений неравенства, вынесем их на координатную плоскость и расставим знаки неравенства в каждом из полученных интервалов.

Корни:

находим корни

Второе неравенство:

решение неравенства системы ограничений на область определения функции

Выносим на координатную прямую:

решение неравенства на плоскости

Объясню как расставлены знаки в каждом из интервалов:

Значения левее 6/7 нет смысла рассматривать, так как логарифм для этих значений не существует.

1-ый интервал: (6/7;1]

Основание логарифма больше единицы, следовательно функция возрастающая. В корне x=1 логарифм меняет свое значение с " — " на " + ".

Наглядно покажу на графике:

знаки логарифма в примере нахождения области определения

Имеем: линейная функция (13 - x) 

 

Пример нахождения области определения функции №9

Рассмотрим следующий пример: 

Excample-9-uslovie 

 

 

Пример нахождения области определения функции №10

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Найти область определения функции двух переменных

 

Пример нахождения области определения функции №11

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Найти область определения функции двух переменных

 

Пример нахождения области определения функции №12

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Найти область определения функции двух переменных

 

 

Пример нахождения области определения функции №13

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY.

Найти область определения функции двух переменных

Все графике в этой статье были построены в Geogebra. 

Подробно о построении графиков функции быстрым и удобным способом читать тут

Статистика

Эконометрика

Английский язык

Матметоды в экономике