Кривые второго порядка

Krv2poryadka

Кривая второго порядка - это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением: 

общая формула кривых второго порядка

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах - при вторых степенях одновременно не нули.

коэффициенты при квадратах не нули

или можно встретить следующую форму записи:

коэффициенты при второй степени не нули

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. 

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

определение коэффициентов в функции кривой второго порядка

Рассмотрим кривую второго порядка: 

общая формула кривых второго порядка

Вычислим определитель из коэффициентов:

определитель из коэффициентов

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ < 0, кривая второго порядка гиперболического типа.

 

Эллипс - множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, большая расстояния между этими точками.

F1 и F2 - фокусы.  

kr2poryadka formula 6

kr2poryadka formula 7

 

с - фокальное расстояние,

F1(-c;0) - левый фокус,

F2(c;0) - правый фокус.

 

kr2poryadka formula 8

 

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

kr2poryadka formula 8

2а - большая ось эллипса, 2b - малая ось эллипса.

а - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

каноническое уравнение окружности

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x0;y0),  оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

каноническое уравнение эллипса с центром в некоторой точке 

Эксцентриситет - число, равное отношению  фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет 

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

 

Гипербола - множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

F1 и F2 - фокусы.

Гипербола

 kr2poryadka formula 11

 

с - фокальное расстояние,

F1(-c;0) - левый фокус,

F2(c;0) - правый фокус.

А1(-а;0),  А2(а;0) - вершины.

 

Каноническое уравнение гиперболы

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

Каноническое уравнение гиперболы 

x -  действительная ось,   y - мнимая ось.

а - действительная полуось,   b -  мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x0;y0),  оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

каноническое уравнение гиперболы с центром в некоторой точке

Эксцентриситет гиперболы - число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Эксцентриситет

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы - прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f1 -  правая директриса,   f2 -  левая директриса.

Уравнения директрис:

уравнения директрис

Порядок построения гиперболы:

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

kr2poryadka formula 15

2. Провести асимптоты гиперболы - диагонали построенного прямоугольника.

асимптоты гиперболы

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А1(-а;0),  А2(а;0).

kr2poryadka formula 16 kr2poryadka formula 17

 

Парабола - множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F - фокус параболы, f - директриса параболы. 

парабола

kr2poryadka formula 19

 

 

р - фокальное расстояние 

Фокус параболы:

фокус параболы

Директриса параболы:

директриса параболы

 

каноническое уравнение параболы

 

Пример по теме кривые второго порядка №1

Привести к каноническому виду и построить график кривой второго порядка. 

kr2poryadka formula 29 

 

Пример по теме кривые второго порядка №2

По виду уравнения определить тип кривой и нарисовать ее в декартовой системе координат:

kr2poryadka formula 27 

 

Пример по теме кривые второго порядка №3

Построить кривую второго порядка:

kr2poryadka formula 28 

 

Пример по теме кривые второго порядка №4

Построить кривую второго порядка:

kr2poryadka formula 26 

 

Пример по теме кривые второго порядка №5

Провести заданное уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить ее:

kr2poryadka formula 30

 

Пример по теме кривые второго порядка №6

Определить центр и радиус окружности:

kr2poryadka formula 32 

 

Пример по теме кривые второго порядка №7

Определить центр и полуоси эллипса:

kr2poryadka formula 33 

 

Пример по теме кривые второго порядка №8

Определить центр, полуоси и асимптоты гиперболы:

kr2poryadka formula 31 

 

Пример по теме кривые второго порядка №9

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(-1;0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x=-4

 

Пример по теме кривые второго порядка №10

Определить тип кривой второго порядка:

 

Пример по теме кривые второго порядка №11

Дана кривая:

kr2poryadka formula 35

Докажите, что эта кривая – эллипс.

Найдите координаты центра симметрии.

Найдите его большую и малую полуоси.

Запишите уравнение фокальной оси.

Постройте данную кривую.

 

Пример по теме кривые второго порядка №12

Дана кривая:

kr2poryadka formula 36

Доказать, что данная кривая – парабола.

Найти координаты вершины параболы.

Найдите значение ее параметра.

Запишите уравнение оси симметрии параболы.

Постройте данную параболу.

 

Пример по теме кривые второго порядка №13

Дана кривая:

kr2poryadka formula 37

Докажите, что кривая – гипербола.

Найдите координаты центра симметрии гиперболы.

Найдите действительную и мнимую полуоси гиперболы.

Запишите уравнение фокальной оси гиперболы.

Найдите данную гиперболу.

 

Пример по теме кривые второго порядка №14

 

  

Все графике в этой статье были построены в Geogebra.Подробно о построении графиков функции быстрым и удобным способом читать тут: