Задача по статистике S-6

Для характеристики электровооруженности труда и выработки продукции одним рабочим было проведено 5%-е выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора машиностроительных заводов. В результате получены следующие данные:
1) Постройте статистический ряд распределения предприятий по выработке продукции на одного рабочего, образовав 4 группы с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.
2) Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по выработке продукции на одного рабочего: среднюю арифметическую, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. При расчете средней арифметической и среднего квадратического отклонения примите способ моментов. Сделайте вывод.
3) С вероятностью 0,997 определить ошибку выборки средней выработки продукции одним рабочим и границы, в которых будет находиться средняя выработка в генеральной совокупности.
4) С вероятностью 0,954 определить ошибку доли заводов, на которых выработка продукции на одного рабочего больше 10 тыс. рублей и границы, в которых будет находиться эта доля в генеральной совокупности.
5) Показать характер связи между электровооруженностью труда и выработкой продукции одним рабочим.

Данные:

Проведите статистический анализ полученных данных. Для этой цели:
1) Постройте статистический ряд распределения предприятий по выработке продукции на одного рабочего, образовав 4 группы с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.
Решение.
Для группировки расположим предприятия в порядке возрастания варианта признака.
Затем определим величину интервала группировки данных по формуле:
i= (xmax-xmin)/n
где xmax и xmin – наибольшее и наименьшее значения вариант признака;
n- число групп.

По условию задания, n = 4. Отсюда: i = (10,5 – 3,6) / 4 = 1,725 тыс. руб.
Определим границы интервалов:
1 группа предприятий: (3,6; 3,6+1,725=5,325)
2 группа предприятий: (5,325; 5,325+1,725=7,05)
3 группа предприятий: (7,05; 7,05+1,725=8,775)
4 группа предприятий: (8,775; 8,775+1,725=10,5)
Произведем группировку данных, определенных с использованием полученного интервала.
Количество предприятий Выработка продукции на одного рабочего, тыс. руб. Электровооруженность труда, тыс. кВт-час на одного рабочего

Составим сводную таблицу по сгруппированным данным

По данным таблицы видно, что в результате группировки максимальное количество предприятий (9) оказалось в 4 группе с интервалом выработки 8,775 – 10,5., которая составляет 36% всех предприятий.
Построим график ряда распределения:

2) Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по выработке продукции на одного рабочего: среднюю арифметическую, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. При расчете средней арифметической и среднего квадратического отклонения примите способ моментов. Сделайте вывод.

Имеем:

Расчет средней по способу моментов основан на средней арифметической. В качестве условного нуля выбирают середину одного из интервалов, обладающего наибольшей частотой. Этот способ используется только в рядах с равными интервалами.
I = 1,725 – величина интервала
A = 9,6375 – середина интервала с наибольшей частотой.

m1 - момент первого порядка,
m2 - момент второго порядка.

Среднее квадратическое отклонение свидетельствует о том, что рассматриваемая величина в среднем отклоняется от средней величины на 1,7806.
Коэффициент вариации v является критерием надежности средней, а также характеризует однородности совокупности. При v?40% средняя является надежной и группировка однородна, при v?40% - средняя не надежна. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

Коэффициент вариации меньше 40%, следовательно, средняя надежна и группировка однородна.
Найдем среднее линейное отклонение:
Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней величины. В нашем случае используется формула средней взвешенной.

II) С вероятностью 0,997 определить ошибку выборки средней выработки продукции одним рабочим и границы, в которых будет находится средняя выработка в генеральной совокупности.

Определим пределы:

С вероятностью 0,954 определить ошибку доли заводов на которых выработка продукции на одного рабочего больше 10 тыс. рублей и границы, в которых будет находится эта доля в генеральной совокупности.
Доля заводов на которых выработка больше 10 тыс.

Ошибка выборки доли с вероятностью 0,954 равна:

Определим пределы:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число заводов находится в найденных пределах.

III. Покажем характер связи между электровооруженностью труда и выработкой продукции одним рабочим:

Определим средние по каждой из групп

Наблюдаем взаимосвязь показателей: при увеличении электровооруженности труда увеличивается средняя выработка на одного рабочего. Для наглядности покажем графически.

Рассчитаем межгрупповую дисперсию результативного признака:

Найдем общую дисперсия результативного признака:

Тогда коэффициент детерминации равен:

Таким образом, вариация выработки рабочих на 85,99% обусловлена вооруженностью труда и на 24,01% другими факторами.

Эмпирическое корреляционное отношение близко к единице. Связь между факторами сильная.
Вычислим параметры линейного уравнения связи между электровооруженностью и производительностью труда. Поясним смысл коэффициента регрессии. Рассчитаем теоретическое корреляционное отношение и поясним его смысл.

Построим поле корреляции:

Можно сделать предположение о линейной зависимости между факторами.
Заполним таблицу (ниже).
Методом наименьших квадратов вычислим параметры линейной регрессии:

Получили уравнение линейной регрессии:

Можем сделать вывод, что при увеличении x – электровооруженности труда на единицу, производительность труда в среднем увеличивается на 0,858
Найдем выборочный коэффициент корреляции

Подставим значения:

Видим, что коэффициент корреляции близок к единице, связь между факторами сильная.

Сделали выводы о связи между электровооруженностью труда и производительностью по сгруппированным и не сгруппированным данным. В обеих случаях показали сильную взаимосвязь между факторами.