Задача 1

Рассмотрим три отрасли промышленности: I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс производства рассматривается за определенный период времени (например, за год). Взаимодействие отраслей определяется матрицей А прямых затрат.

Число а_ij, стоящее на пересечении i-й строки и j-го столбца, равно x_ij/x_j,

где

x_ij – поток средств производства из i-й отрасли в j-ю,

x_j – валовой объем продукции j-й отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).

Задан вектор объемов продуктов конечного потребления.

• определить, является ли матрица А продуктивной;
• составить уравнение межотраслевого баланса;
• найти объемы валовой продукции каждой отрасли .
• составить матрицу потоков средств производства (x_ij);
• найти объемы валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличится на 60, 70, 30 соответственно.

Задача 2

Организации, занимающейся перевозкой и продажей продукции, необходимо перевезти партию товара. При этом можно арендовать для перевозки по железной дороге 5- и 7-тонные контейнеры. Пятитонных контейнеров имеется в наличии не более 12 штук, а семи тонных – не более 33 штук. На перевозку всей продукции по смете выделено не более 120 тысяч рублей, причем цена за аренду пятитонного контейнера – 2 тыс. рублей, а семи тонного – 3 тыс. рублей. Определить, сколько и каких контейнеров следует арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным.

Решение задачи оформить поэтапно:

• построить математическую модель задачи;
• решить задачу линейного программирования с использованием графического метода.

Задача 3

Некоторая фирма выпускает четыре вида различной продукции, используя четыре вида сырья. В таблице указаны:

• технологические коэффициенты а_ij, которые показывают, сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукции;
• прибыль с_j, получаемая от производства j-го вида продукции (в нижней строке таблицы);
• запасы сырья в планируемый период (в тех же единицах).

Составить такой план выпуска продукции, при котором будет обеспечена максимальная прибыль.

Решение задачи оформить поэтапно:

• составить математическую модель задачи;
• привести задачу к каноническому виду, пояснить экономический смысл дополнительных переменных;
• решить задачу симплекс-методом;
• определить количество неизрасходованного сырья при найденном оптимальном плане;
• построить двойственную задачу, решить ее;
• дать экономический анализ двойственной задачи, оценить целесообразность введения в план нового вида продукции, если затраты на производство этой продукции и получаемая прибыль заданы в последней графе таблицы.

Задача 4

В городе имеются три домостроительных комбината (ДСК): А₁, А₂, А₃ и строятся четыре микрорайона: В₁, В₂, В₃, В₄. Известны ресурсы: А₁ – 100, А₂ – 130, А₃ – 170 и производственные потребности унифицированных изделий микрорайона: В₁ – 150, В₂ – 120, В₃ – 80, В₄ – 50. Известны также затраты, связанные с доставкой одного комплекта унифицированных изделий из каждого пункта комплектования в каждый пункт назначения.

Требуется распределить продукцию ДСК по микрорайонам, чтобы суммарные приведенные затраты, связанные с доставкой всего груза от отправителя к потребителю, были минимальны.

Задача 5

Свести матричную игру к задаче линейного программирования:

Задача 6

Определите тип электростанции, которую необходимо построить для удовлетворения энергетических потребностей комплекса крупных промышленных предприятий. Возможные стратегий в задаче:

А₁ – сооружается гидростанция;

А₂ – сооружается теплостанция;

А₃ – сооружается атомная станция.

Экономическая эффективность сооружения электростанции зависит от влияния случайных факторов, образующих множество состояний природы Пi. Результаты расчета экономической эффективности приведены в табл.

Использовать критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица для λ = 0.3. Сравнить решения и сделать вывод.