Графики функций. Простейшие построения. Прямая на плоскости
![]() |
График функции - это наглядный образ некоторой функции f(x). Здесь каждому значению х соответствует единственное значение y. Это множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению y = f(x).График уравнения - это множество всех точек плоскости, которые удовлетворяют заданному уравнению, т.е. обращают уравнение в верное числовое равенство. Зависимость в данном случае не обязательно является функцией.Рассмотрим ряд элементарных функций, таких, как прямая, парабола, гипербола, их свойства и правила построения. |
Но для начала покажем на примере отличие графика функции от графика уравнения.



1. Прямая. Уравнение прямой y = kx + b.
Прямая задается линейной функцией , т.е. уравнением первой степени вида y = kx + b.
при k>0 график функции возрастает (y=3x+1, k=3, k>0), при k<0 график функции убывает (y=-3x+1, k=-3, k<0)


Рассмотрим частные случаи расположения линейных функций.
y = kx - график функции проходит через начало координат, т.е. точку О(0;0),
y = c (c = const) - график функции параллелен оси Ox,
x = c (c = const) - график функции параллелен оси Oy.



Для построения прямой достаточно получить координаты двух точек, принадлежащих заданному уравнению.
Как построить прямую? Покажем на примере.
Дано уравнение прямой: y=-2x+3. Необходимо построить график функции.
Возьмем два произвольных значения переменной х, например х = -1 и х = 5. Найдем для каждого из них соответствующее значение переменной у. Как это сделать? Подставить выбранные значения х в заданное уравнение.
y(-1) = -2·(-1)+3=5
y(5) = -2·5+3=-7
Получаем две точки с координатами: (-1;5) и (5;-7). Выносим их на координатную плоскость и проводим через них прямую.
На что указывают параметры k,b в уравнении прямой y = kx + b?
Параметр k - указывает на наклон прямой.
Параметр b - координата точки пересечения заданной прямой с осью OY. Так как y = k·0 + b (х=0 - уравнение оси OY)



Параметр k в уравнении прямой y = kx + b есть угловой коэффициент этой прямой.
k=tgα, α - угол меду положительным направлением оси ОХ и прямой.
Угловые коэффициенты всех параллельных прямых равны.
Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых взаимно обратны по величине и противоположны по знаку.
Для наглядности покажем утверждения на конкретных примерах.



Уравнения прямой на плоскости.
Построим некоторые уравнения прямых в зависимости от исходных данных, приведем формулы и рассмотрим конкретные примеры.
Коротко уточним используемые ниже понятия:
Угол наклона прямой - угол меду положительным направлением оси ОХ и прямой.
Нормальный вектор прямой - вектор, перпендикулярный искомой прямой.
Направляющий вектор прямой - вектор, параллельный искомой прямой.
2. Парабола.
Парабола задается квадратичной функцией вида y = ax2 + bx + c.
3. Гипербола.
4. Кубическая парабола.