Графики функций. Простейшие построения. Прямая на плоскости

График функции - это наглядный образ некоторой функции f(x). Здесь каждому значению х соответствует единственное значение y. Это множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению y = f(x).

График уравнения - это множество всех точек плоскости, которые удовлетворяют заданному уравнению, т.е. обращают уравнение в верное числовое равенство. Зависимость в данном случае не обязательно является функцией.

Рассмотрим ряд элементарных функций, таких, как прямая, парабола, гипербола, их свойства и правила построения.

 

Но для начала покажем на примере отличие графика функции от графика уравнения.

Пример графика функции
Пример графика функции
Пример графика уравнения - не функция
График функции - для каждого значения Х единственное значение Y
График функции - для каждого значения Х единственное значение Y
График уравнения - для некоторого значения Х могут существовать несколько значений Y, не функция.

1. Прямая. Уравнение прямой y = kx + b.

Прямая задается линейной функцией , т.е. уравнением первой степени вида y = kx + b.

при k>0 график функции возрастает (y=3x+1, k=3, k>0), при k<0 график функции убывает (y=-3x+1, k=-3, k<0)

график функции возрастает k=3, k>0
график функции убывает k=-3, k<0

Рассмотрим частные случаи расположения линейных функций.

y = kx - график функции проходит через начало координат, т.е. точку О(0;0),

y = c (c = const) - график функции параллелен оси Ox,

x = c (c = const) - график функции параллелен оси Oy.

частные случаи расположения линейных функций
частные случаи расположения линейных функций
частные случаи расположения линейных функций
y = kx - график функции проходит через начало координат, т.е. точку О(0;0)
y = c (c = const) - график функции параллелен оси Ox
x = c (c = const) - график функции параллелен оси Oy

Для построения прямой достаточно получить координаты двух точек, принадлежащих заданному уравнению. 

Как построить прямую? Покажем на примере.

Дано уравнение прямой: y=-2x+3. Необходимо построить график функции.

Возьмем два произвольных значения переменной х, например х = -1 и х = 5. Найдем для каждого из них соответствующее значение переменной у. Как это сделать? Подставить выбранные значения х в заданное уравнение.

y(-1) = -2·(-1)+3=5

y(5) = -2·5+3=-7

Получаем две точки с координатами: (-1;5) и (5;-7). Выносим их на координатную плоскость и проводим через них прямую.

На что указывают параметры k,b в уравнении прямой y = kx + b?

Параметр k - указывает на наклон прямой.

Параметр b - координата точки пересечения заданной прямой с осью OY. Так как y = k·0 + b (х=0 - уравнение оси OY)

влияние на наклон прямой параметра к
влияние на наклон прямой параметра к
точки пересечения с осью оу
Наклон прямой в зависимости от k. k>0 - угол острый
Наклон прямой в зависимости от k. k<0 - угол тупой
Точки пересечения прямых с осью OY

Параметр k в уравнении прямой y = kx + b есть угловой коэффициент этой прямой.

k=tgα, α - угол меду положительным направлением оси ОХ и прямой.

Угловые коэффициенты всех параллельных прямых равны.

Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых взаимно обратны по величине и противоположны по знаку.

Для наглядности покажем утверждения на конкретных примерах.

угловой коэффициент прямой
угловой коэффициент параллельных прямых
угловой коэффициент перпендикулярных прямых
Угловой коэффициент прямой
Угловой коэффициент параллельных прямых
Угловой коэффициент перпендикулярных прямых

Уравнения прямой на плоскости.

Построим некоторые уравнения прямых в зависимости от исходных данных, приведем формулы и рассмотрим конкретные примеры.

Коротко уточним используемые ниже понятия:

Угол наклона прямой - угол меду положительным направлением оси ОХ и прямой.

Нормальный вектор прямой - вектор, перпендикулярный искомой прямой.

Направляющий вектор прямой - вектор, параллельный искомой прямой.

Уравнение прямой по заданной точке и углу
Уравнение прямой по двум точкам
Уравнение прямой по точке и нормальному (направляющему) вектору
Уравнение прямой по заданной точке и углу наклона. Дано: A(xA; yA), α
Уравнение прямой по двум точкам
Уравнение прямой по точке и нормальному (направляющему) вектору/div>

2. Парабола.

Парабола задается квадратичной функцией вида y = ax2 + bx + c.

3. Гипербола.

4. Кубическая парабола.